什么叫半正定矩阵

具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax，如果对任何非零向量x，都有x’Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。即有定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。判定A是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。

【半正定矩阵】一个n× n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz >0，则称M为正定矩阵，其中z* 表示z的共轭转置。当z*Mz >0弱化为z*Mz≥0时，称M是半正定矩阵由于 M是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小.

与正定矩阵相对应，一个n× n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵,当且仅当对非零的复向量z都有：z*Mz <0.

具有对称矩阵A的二次型f=x'Ax

如果对任何非零向量x，都有x'Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定（半负定）二次项，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。

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