解释一下：欧氏空间和黎曼空间

01：

欧几里德

空间(Euclidean

Space)，简称为

欧氏空间

(也可以称为:平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。

这是有限维、实和

内积

空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如

紧性

加以调查。

内积空间

是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在

泛函分析

中得到了探讨。

欧几里德空间

在对包含了

欧氏几何

和

非欧几何

的

流形

的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的

开球

。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。

微分几何

把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

当一个

线性空间

定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

02：

黎曼

空间

常曲率黎曼空间

Riemannian

space

of

constant

curvature

截面曲率为常数的

黎曼流形

，它包括了欧氏空间、球面、双曲空间为其特例。在曲面论中,

高斯曲率

K为常数的曲面局部地为球面(K>0)，平面（K=0）或双曲平面(K<0)。在高维时高斯曲率的自然推广为截面曲率(见黎曼几何学)。如果黎曼流形M上任何点处的任何二维切平面，其相应的截面曲率均为常数K,则称此黎曼流形为常曲率黎曼空间。又称常曲率空间。由著名的舒尔定理知道,如果dim

M≥3并且M上每处的截面曲率的数值与二维切平面的选取无关，则截面曲率也必与点的选取无关，即它必为常曲率黎曼空间。局部地,常曲率K的n维黎曼流形的黎曼曲率张量可表为此处gij为黎曼流形的度量张量,1≤i，j，k,l≤n。在适当的坐标系下它的黎曼度量为

局部地,它是n维球面(K>0)、欧氏空间(K=0)或双曲空间(K<0)。整体地说,

单连通

的完备常曲率空间只能是下列三种：球面、欧氏空间和双曲空间。如不单连通，则其通用覆盖流形必为上述三类之一。J.A.

沃尔夫

已完全解决了以球面为其通用覆盖的紧致的正常曲率空间的分类。

人们对常曲率黎曼空间感兴趣的原因在于这类黎曼流形结构简单，具有最大的对称性（即容有最大参数的运动群）,直观地说,这类空间是均匀

各向同性

的。它也同时作为共形平坦空间、

爱因斯坦空间

、齐性黎曼流形或对称黎曼空间等特殊黎曼流形的一类重要的例子。把它作为模型研究清楚以后，通过与这些标准的模型进行诸如曲率等

几何量

的比较，从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质。

空间不止一种

我们在小学学到的几何知识，都是欧式空间的几何知识。欧式空间可以看成为平坦空间，也就是说空间弯曲程度（即曲率）是零。欧式空间有几个很重要的几何性质，例如三角形内角之和为180度，两条平行线永远不相交。

但是，除了欧式空间外，现实中还有另外不同的空间。比如椭圆空间，这是类似于一个球体的表面，最简单的理解方法就是去想象地球的表面，所以可以看成为凸起来的空间。椭圆空间不存在平行线。就像两条经线，它们在赤道附近看起来好像是平行的，但是到了两极就会相交了。我们可能认为两条纬线并不会相交，但事实上相交也是存在的：在极点处，它们自己与自己发生了相交！此外，椭圆空间里的三角形内角之和大于180度。

还有双曲抛物空间，双曲抛物面类似于马鞍形状，有些人没见过马鞍,不要紧,你把一小段橡皮管一分为二,把一段向外弯过来就是马鞍形了。双曲空间可以看成为凹下去的空间，从概念上讲，双曲空间的几何性质与椭圆空间是相反的。例如，双曲空间里的三角形内角之和要小于180度。

这三种空间在我们的生活中都是常见的空间类型。但是如果一个事物在接近或处于光速状态下时，它所处的空间就迥然不同了。由于存在狭义相对论效应，这些空间的几何性质需要修正。于是，在狭义相对论效应下，又出现了三种空间——闵可夫斯基、德西特和反德西特空间。闵可夫斯基空间是考虑了相对论效应的欧氏空间，而德西特空间则是考虑了相对论效应的椭圆空间，反德西特空间是考虑了相对论效应的双曲空间。

物理学家都十分偏爱反德西特空间，因为这个空间有一个很有意思的性质——在此空间下的关于引力理论的数学问题可以简化。所以物理学家遇到复杂的数学问题时，常常在此空间下来研究。最近，一些研究人员在反德西特空间的计算表明，能把广义相对论和量子力学结合起来的正确理论，只能是弦理论。

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物理学终极统一的理论

相对论和量子理论是现代物理学的两大支柱，其中，广义相对论是描述宏观世界的引力理论，量子理论则是描述微观粒子运动状况的理论。令人烦恼的是，这两大支柱理论互不相容，无法统一到一起。

宇宙中有四种基本作用力，在宏观世界起作用的引力、在分子层面起作用的电磁力、以及原子内的强核力和弱核力，这四种作用力原本各有各的地界，但经过一个世纪的探索，物理学家已经把宇宙中四种作用力的三种——强核力、弱核力、电磁力——融进到同一个理论中，只有引力还无法融入进去。

爱因斯坦的广义相对论把引力描述为时空的弯曲，苹果落向地面是因为地球的质量引起了时空的弯曲。爱因斯坦的理论在宏观尺度下完美地描述了引力的性质。但是在极小的尺度下，时间和空间就没有意义了，这使得广义相对论不再适用。物理学家希望能找到量子引力理论，把广义相对论和量子力学结合起来，他们假设两个大质量天体之间有一种引力子（携带引力的粒子）在传递相互作用，从而产生引力。为了传递引力，引力子必须永远相吸、作用范围无限远并且以无限多的形态出现。

可是，这样的引力子从未被发现过，因此有科学家怀疑它是否真的存在。于是弦理论就来了——物理学家发现，如果把电子、光子、中微子之类的点状粒子，理解为很小很小的线状的“弦”，相对论和量子理论就有可能实现统一。弦的不同振动和运动产生出各种不同的基本粒子，其中弦的一种特别的振动形式，特别符合假想的引力子。这就意味着，弦理论可能就是大家说要找的量子引力理论。

20世纪80年代末期，物理学家提出了5个彼此不同的弦理论。有一些理论是用闭合的弦来描述粒子，有一些是用存在两个节点的开合的弦来描述的。而其他的理论则是把1维的弦推广为2维以及以上的弦，这种高维弦也叫“D膜”，类似一种振动着的膜。

怎么会有5个弦理论呢？1995年，美国物理学家爱德华·威滕指出5个弦理论都是一个包罗万象的理论的一部分。所以说，物理学家以为彼此研究的是不同的东西，其实最终都是同一个东西。威滕把这个理论称为M理论。（许多人推测，M代表着膜，或者是谜、母等等。但威滕并没有给M一个明确的含义。）

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在特殊空间里证明弦

物理学家对弦理论（或M理论）抱以很大期望，如果有证据证明弦理论是正确的那就更好了。但是到了今天，还没有确凿的证据证明弦理论是否正确。一个很明显的原因是，构成基本粒子的弦太小了，很难在当今甚至未来的实验室中被发现。

所以，物理学家不得不另辟蹊径来寻找证据。2014年，英国和加拿大的两组物理学家分别发现，在一个反德西特空间，如果那里的宇宙十分热的话，物质的各种“状态”的数量可能变得很高。举个不恰当的例子，如日常生活中物质具有类似固、液、气三种形态，但在一个反德西特空间，如果那里环境十分热的话，它可能有成千上万种不同的状态。

如果把粒子看成物质的基本结构的话，在很热的温度下，点粒子只是一个点，它找不到多少新的花样，所以它无法解释上面的现象。但如果物质的基本结构就是弦的话，那么上面这种现象就很好解释了。因为弦的振动状态有无数种，你怎么扭这根弦都可以。温度越高，弦就具有更多的能量，它就有能力以更多新的方式来振动，弦就会有很多的状态。这就是说，在反德西特空间，弦理论应该是唯一可行的量子引力理论。

这个研究当然会引起其他一些物理学家的质疑。因为观测表明，我们的宇宙空间是平坦的，或者是略微凸起的空间，反正不是反德西特空间，那么弦理论在我们的宇宙里不一定是正确的。要想打消这些质疑，就需要新的证明。已经有物理学家开始寻找，如何在平坦空间中来简化引力理论，不过这个研究还处于起步阶段。

不管弦理论最终被证实还是被证伪，物理学对新的发现都充满了期待。

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