格林函数法

在涉及场和势的物理中，总会出现根据一定的边界条件求解拉普拉斯方程或者泊松方程在区域内的解的问题，也就是由场源和边界求解势场。

这个格林函数法就是求解这一问题的一种方法，以前学习电动力学时只觉得形式复杂，而且也没有什么必要去解势场，所以，一直对这个东西也不太明白。直到，这几天，发现这东西和线性系统响应非常相似，在一本书中作者也点明了他们之间的关系，信号处理理论是线性系统响应在时域上的表现，而格林函数理论则是在空间域上的表现。于是，很多问题就得到了解答。

物理系统的观点还是比较深入的，一般是根据系统内粒子的动力学性质进行运动微分方程求解，获得一系列欲求的物理量，比如电磁场方程，薛定谔方程，一般就是介绍可解析求解的方程，虽然形式复杂，涉及很多特殊函数，但是总归是性质比较好的方程。

对于一些不可解析求解的方程，就没办法了。这其实就是解析函数理论求解微分方程，假定解为收敛的幂级数，通过系数项关系，化简得到一堆收敛幂级数函数，也就是解析函数，这是特殊函数理论的基础。但是，当我们考虑信号和系统里面的各种系统响应函数的求解方法时，就可以发现方法还有很多微分算子法，卷积积分法，积分变换法等等。这些方法自然也早已在物理里面应用了。

格林函数法对应的就是卷积积分法，实际上就是对信号的冲激信号分解，将任意信号分解为冲激函数的线性组合，或者说是积分。也可以理解为可测函数理论的做法，任意的可测函数都可以分解为示性函数的线性组合，可测函数的积分理论就是建立在这个基础上的。所以，我们姑且可以将卷积积分法视为可测函数理论，相比较于解析函数理论，其包含的函数范围自然是得到了极大的推广。毕竟解析函数是连续函数的一个子集，连续函数是可测函数的一个子集。

所以，对于解析函数理论不能解决的问题，格林函数是可以解决的。但是，一般我们不会去使用这个高级手段，因为，可测函数毕竟性质不太好，一般都会涉及无穷项的问题，往往还是不可数的，所以，无法写成比较规整的形式，显得很散乱。这也是可测函数理论的问题，虽然我们遇见的几乎所有函数都是可测函数，但是很多函数的表示形式非常糟糕，看不出有什么特殊的物理意义。因为可测函数允许人们逐点的定义函数值，然后写上一个积分号或者求和号，这就跟废话一样，完全给不出任何想要信息。所以，一般就沦为了数值计算的境地。

好的，来考虑电磁场泊松方程求解问题，拉普拉斯方程是无源的波动方程，而泊松方程是有源的，所以就更加复杂，对于这个源，由于是占据了空间，而且满足物理上叠加性，所以可以通过分解的方法表示成可测函数，也就是不同空间点的单位正电荷的线性叠加，于是，只要我们能够求得空间中任意位置的单位正电荷响应，就可以通过叠加的方法获得整个有源空间的响应函数，也就是电势场。这种冲激响应的求解，相比于原问题就得到了极大的简化，因为可以使用δ函数理论，极大的简化积分运算。具体的求解，就是传递函数法，系统的传递函数将激励和响应联系到了一起。这个传递函数就被称为格林函数，或者传播函数，传播子。所以，这种方法在相对论力学中也是经常使用的。

一,格林公式

一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式

表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示.

无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式.

1,单连通区域的概念

设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于,则称为平面单连通区域否则称为复连通区域.

通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.

2,区域的边界曲线的正向规定

设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边.

简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手.

3,格林公式

【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有

(1)

其中是的取正向的边界曲线.

公式(1)叫做格林(green)公式.

【证明】先证

假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)

易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.

另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有

因此

再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证

综合有

当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有

,

同时成立.

将两式合并之后即得格林公式

注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.

格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.

若取,, ,则格林公式为

故区域的面积为

【例1】求星形线 所围成的图形面积.

解:当从变到时,点依逆时针方向描出了整个封闭曲线,故

【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线,证明

证明:这里 ,

从而

这里是由所围成的区域.

二,平面曲线积分与路径无关的条件

1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义

【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,,等式

恒成立,就称曲线积分在内与路径无关否则,称与路径有关.

定义一还可换成下列等价的说法

若曲线积分与路径无关, 那么

即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关.

【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有

.

2,曲线积分与路径无关的条件

【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式

在内恒成立.

证明:先证充分性

在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立.

由格林公式,有

依定义二,在内曲线积分与路径无关.

再证必要性(采用反证法)

假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使

不妨设

由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有

由格林公式及二重积分性质有

这里是的正向边界曲线,是的面积.

这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式

应恒成立.

注明:定理所需要的两个条件

缺一不可.

【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.

这里

,

除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 .

在内,作一半径充分小的圆周

在由与所围成的复连通域内使用格林公式有

三,二元函数的全微分求积

若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号

或

来表示,而不需要明确地写出积分路径.

显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理

【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则

是的单值函数,这里为内一固定点,且

亦即

【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数.

下面证明

由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有

类似地可证明

因此

【定理二】设是单连通的开区域,,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是

在内恒成立.

【证明】显然,充分性就是定理一

下面证明必要性

若存在使得 ,则

由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式

从而

【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得

则

其中,是内的任意两点.

【证明】由定理1知,函数

适合

于是 或

因此 (是某一常数 )

即

而

这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故

因此 □

【确定的全微分函数的方法】

因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).

定义：

在数学中，格林函数是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数，有时并不符合数学上的定义。

从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理，我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法。而点源产生的场就叫做格林函数。

用法：

若L的零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。

格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

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