带限信号的傅里叶变换还是带限信号吗

这个问题本身有点问题。

带限信号指的就是频率有限的信号，带限的说法就是对于傅里叶变换后的结果所说的。

我想你问的应该是时限信号的傅里叶变换是不是带限信号。

答：不是，如矩形脉冲函数，傅里叶变换后的结果虽然在趋于无穷的时候是趋于零的，但是不是带限信号。

冲激函数的性质的计算,单位冲激函数求导

如上所述，各个矩形脉冲的时域波形如下图所示。

图1单一矩形脉冲信号

可以通过傅立叶变换求出其频谱函数

(1) ) ) )。

频谱函数的示意图(频域分布曲线)如下图所示。

图2单矩形脉冲的谱函数

一、特殊的单个矩形脉冲信号

如果数值取单一矩形脉冲信号的脉冲宽度

(2) ) ) )。

无论脉冲宽度如何变化，函数图像下方的面积总是为1，即

(3) ) )。

如下图所示。

图3特殊的单矩形脉冲

这个特殊的单一矩形脉冲信号的数学公式

(4) ) )。

因此，该傅立叶变换可以从式(1)中得到

(5) ) )。

这是最大振幅为1的采样函数，频域曲线如下图所示

图4特殊单矩形脉冲的光谱

二、单位冲激函数的定义

对于图3和式(4)所示的特殊的单一矩形脉冲，若将脉冲宽度设为0并取极限，则单一矩形脉冲成为t=0且持续时间无限小、宽度无限大、面积为1的特殊信号(或广义函数)。 科学界将此广义函数称为单位脉冲函数或xndls(dirac )函数。 表记为

(6) ) )。

单位脉冲函数的示意图如下图所示

图5单位脉冲函数示意图

单位脉冲函数是广义函数，其振幅为无穷大，图像只能用带箭头的射线表示。 但是，通常不是其振幅，而是只用括号表示脉冲强度(s )，即面积。 根据等式(3)和(6)，发现其面积(脉冲强度)为1，并且被称为“单位”脉冲函数。 单位脉冲函数的自变量不限于时间t，并且可以是任意物理量x。

实际上延迟的单位脉冲函数也很常用，公式如下。

(7) ) )。

其形象是

图6延迟的单位脉冲函数的示意图

三、单位冲激函数的性质

ndent:2em">根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：

1、广义积分归一性：

（8）

2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。

（9）

3、抽样性质：

（10）

更一般地，有

（11）

即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。

4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。

（12）

反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：

（13）

其中单位阶跃函数为

（14）

其图象为

图7 单位阶跃函数的图象

四、单位冲激函数的频谱

由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：

（15）

频谱如下图：

图8 单位冲激函数的频谱

实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即

（16）

则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。可见单位冲激函数的频带宽度为无穷大，科学界称这样的频谱密度为“均匀谱”或曰“白色谱”。

五、连续函数的冲激表示

引进冲激函数概念，为信号的时域分析和频域分析提供了极大的方便。比如任何一个连续函数f（t）都可以表示为无穷多个不同加权的冲激函数之和，即加权积分：

（17）

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