1、F(w)=∫ f(t)e* dt ， 积分范围是从-∞到+∞，e的指数是-jwt。就是傅里叶变换的表达式。
此表达式就是一个自变量为w的函数，然后把W=0带入上式，变成F(0)=∫ f(t) dt，就是对f(t)从-∞到+∞的积分，由于f(t)的t的范围为-1到1,则积分范围变成-1到1,积分的物理意义就是:函数f(t)所围成的面积。在这里是三角形的面积。
2、f(t)=(2π的倒数)* ∫ F(W)e*dw，其中e的指数是jwt。这是一个关于t的函数，把t=0带入，f(0)=(2π的倒数)*∫ F(w)dw，其中e*jwt变成为1.则F(W)函数从-∞到+∞的积分等于f(t)在t=0出的值f(0)的2π倍。
这个题的目的是想告诉我们:在通讯系统中，通信速度和占频带宽度是一对矛盾的。
因此考题可能会出：请用傅里叶变换知识，解释一下通讯速度和占频带宽度是一对矛盾的。？（答案就是系统与系统，第二版，邓君里版，128-129页)
冲激函数的性质的计算,单位冲激函数求导如上所述，各个矩形脉冲的时域波形如下图所示。
图1单一矩形脉冲信号
可以通过傅立叶变换求出其频谱函数
(1) ) ) )。
频谱函数的示意图(频域分布曲线)如下图所示。
图2单矩形脉冲的谱函数
一、特殊的单个矩形脉冲信号
如果数值取单一矩形脉冲信号的脉冲宽度
(2) ) ) )。
无论脉冲宽度如何变化，函数图像下方的面积总是为1，即
(3) ) )。
如下图所示。
图3特殊的单矩形脉冲
这个特殊的单一矩形脉冲信号的数学公式
(4) ) )。
因此，该傅立叶变换可以从式(1)中得到
(5) ) )。
这是最大振幅为1的采样函数，频域曲线如下图所示
图4特殊单矩形脉冲的光谱
二、单位冲激函数的定义
对于图3和式(4)所示的特殊的单一矩形脉冲，若将脉冲宽度设为0并取极限，则单一矩形脉冲成为t=0且持续时间无限小、宽度无限大、面积为1的特殊信号(或广义函数)。 科学界将此广义函数称为单位脉冲函数或xndls(dirac )函数。 表记为
(6) ) )。
单位脉冲函数的示意图如下图所示
图5单位脉冲函数示意图
单位脉冲函数是广义函数，其振幅为无穷大，图像只能用带箭头的射线表示。 但是，通常不是其振幅，而是只用括号表示脉冲强度(s )，即面积。 根据等式(3)和(6)，发现其面积(脉冲强度)为1，并且被称为“单位”脉冲函数。 单位脉冲函数的自变量不限于时间t，并且可以是任意物理量x。
实际上延迟的单位脉冲函数也很常用，公式如下。
(7) ) )。
其形象是
图6延迟的单位脉冲函数的示意图
三、单位冲激函数的性质
ndent:2em">根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：
1、广义积分归一性：
（8）
2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。
（9）
3、抽样性质：
（10）
更一般地，有
（11）
即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。
4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。
（12）
反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：
（13）
其中单位阶跃函数为
（14）
其图象为
图7 单位阶跃函数的图象
四、单位冲激函数的频谱
由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：
（15）
频谱如下图：
图8 单位冲激函数的频谱
实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即
（16）
则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。可见单位冲激函数的频带宽度为无穷大，科学界称这样的频谱密度为“均匀谱”或曰“白色谱”。
五、连续函数的冲激表示
引进冲激函数概念，为信号的时域分析和频域分析提供了极大的方便。比如任何一个连续函数f（t）都可以表示为无穷多个不同加权的冲激函数之和，即加权积分：
（17）
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