一、数值流形方法的动力学求解格式
前面所讨论的裂纹扩展问题，都只限于静态加载或缓慢加载下的断裂问题和裂纹的稳态扩展问题，它们都属于断裂静力学的范畴。但是在实际工程中，会经常遇到含裂纹的结构在高加载速率下的断裂问题或裂纹在失稳后的快速扩展问题，而这两类问题都属于断裂动力学问题。断裂动力学是研究惯性效应不能忽略的断裂力学问题（范天佑，1990），断裂动力学问题的求解方法明显不同于断裂静力学问题，在动态加载时，试件除产生弹塑性变形外，内部各质点的自由振动获得一定的加速度，从而产生惯性力，即所谓的动态加载时的惯性效应（Chen E P et al.，1976）。
数值流形方法在处理动力学问题时，在当前步的计算中，各单元继承了前一时间步的速度，而不是像处理静力学问题一样置当前时间步的速度为零。这种处理方法考虑了单元的惯性效应，但没有考虑单元的阻尼，对一般动力学问题精度不够，本节在数值流形方法的动力学求解格式分析的基础上，进行改进，以更好地模拟一般动力学问题。
在数值流形方法的求解公式中，动力问题与静力问题的主要区别在于质量矩阵，在动力学问题中，这是一个很重要的矩阵，当时间步比较小时，惯性力矩阵将控制着整个材料体所有各点的运动和稳定。
考虑当前时间步时，（u（x，y，t）v（x，y，t））T表示为单元e的任一点（x，y）与时间相关的位移，假设M表示单位面积的质量，e是q个覆盖（Ue（1），Ue（2），…，Ue（q））的交集。单位面积上的惯性力为
岩石断裂与损伤
式中：
［T（e）（x，y）］=（Te（1） Te（2） Te（3）…Te（q））
｛D（e）（t）｝=｛De（1）（t）De（2）（t）De（3）（t）…De（q）（t）｝T
在单元e中，由惯性力引起的势能为
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设{D（e）}={0}是在时间步起始时的单元位移，{D（e）（Δ）}={D（e）}是在时间步终了时的位移，Δ是时间步长。则
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所以
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式中：，是时间步开始时的单元速度。该时间步终了时的速度{V（Δ）}是
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则势能变为
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上式可分解为两部分，第一部分对应于刚度矩阵，为
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第二部分对应于荷载向量，为
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其中：r，s=1，…，12。
由上可知，数值流形方法对动力学问题的求解是显式算法，即利用当前时间步的位移和速度求下一时步的位移和速度，在每一时间开始时，继承了前一时步的速度和位移，且位移是用泰勒级数展开的，其截断误差是三阶的，当时间步取得较大时，误差也较大。另外该算法也是有条件的，在计算过程中时间步长的选择必须要小于某一个值，即（王勖成等，1995）：，其中：Tn为求解系统中最小尺寸单元的最小固有振动周期，因此求解系统中最小单元的尺寸将决定其时间步长的选择。
这种算法比较适合于波动问题的求解，一方面是因为这种方法的求解特点正好和波的传播特点相一致；另一方面，研究波的传播过程需要采用小的时间步长，也符合该算法的要求。
一般的结构动力学问题结构的动力相应中低频成分占主导，从计算精度上考虑，允许采用较大的时间步长，通常采用Newmark无条件稳定隐式算法，它是借用动力有限元法的求解思想，采用动力有限元中的Newmark方法来求解动力学问题。
在有限元方法中，对动力学问题的模拟采用的方程为结构动力学方程（张国新等，2002；张子明等，2001）：
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其中：M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；d为位移增量；，分别是位移速度和加速度。K=Ke+Kcn+Kcs+Kf，Ke是刚度矩阵，Kcn、Kcs分别为块体及不连续面之间的接触矩阵，Kf是约束矩阵；F为总载荷向量，F=Fp+Fb+Ff-F0+Fcn+Fcs+Ffr，Fp是外载荷向量，Fb是体积力向量，Ff是已知约束位移引起的等效载荷向量，F0 是初应力向量，Fcn、Fcs分别为法向和切向接触引起的等效载荷向量，Ffr为接触面之间的摩擦力引起的等效载荷向量。
对一般的结构动力学问题，动力方程式（12-26）通常采用Newmark解法。Newmark积分法实质上是线性加速度法的一种推广，它采用如下假设（王勖成等，1995）：
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其中：α、β是按积分精度和稳定性要求而决定的两个参数。当β≥0.5，α≥0.25（0.5+β）2时，Newmark法是一种无条件稳定算法，而且求解时可以采用比一般差分法大得多的时间步长，它比较适合于求解结构动力学问题。在这种方法中t+Δt时刻的位移解答dt+Δt是通过满足t+Δt时刻的运动方程：而得到的。
利用Newmark法求解运动方程的算法步骤如下：
1.初始计算
（1）形成刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C。
（2）给定d0、和。
（3）选择时间步长Δt、参数α和β，并计算积分常数：
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（4）形成有效刚度矩阵：
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（5）三角分解：
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2.对于每一时间步长
（1）计算时间t+Δt的有效载荷：
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（2）求解时间t+Δt的位移：
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（3）计算时间t+Δt的速度和加速度：
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综上可见，当选择合适的参数后，Newmark法是一种无条件稳定的隐式算法，即时间步长Δt的大小不影响解的稳定性，此时Δt的选择主要根据解的精度要求而选择。与数值流形方法中最初的动力学求解方法相比，这种算法是以对求逆获取较大的时间步长（彭自强，2003）。Newmark算法考虑了动力求解问题中的阻尼效应。本章中动力学问题求解采用Newmark算法。
二、动态裂纹计算模型
与静态加载时一样，当动态载荷作用于含裂纹的物体时，在裂纹尖端也将产生应力集中现象，这种裂纹尖端的应力集中现象用动态应力强度因子来描述，而动态应力强度因子不但是载荷、裂纹长度和带裂纹体几何尺寸的函数，而且是时间的函数，有文献提出了动态应力强度因子K（t）与相应的静态应力强度因子K（0）的关系式：
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式中k（V）是裂纹扩展速度的函数，而与几何形状无关。其中k（V）可近似表达为
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式中：CR为Rayleigh表面波速；h是一个弹性波速的函数，有
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其中：c1、c2分别为材料的膨胀波速和剪切波速，有
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其中：ρ、G、ν分别为材料的密度、剪切模量和泊松比。
根据以上的讨论，可以由材料的性质求出裂纹的动态断裂应力强度因子，并根据相应的准则来对动态裂纹的扩展进行判断。动态裂纹扩展的判据很多，最简单实用的是应力强度因子判据，对Ⅰ型裂纹：K（t）≥KID（V），KID（V）是纯Ⅰ型裂纹的动态断裂韧性，它是一个和裂纹扩展速度有关的函数，但其变化不是很大，因而在实际应用中，通常认为它是一个不变的材料常数（刘再华等，1996）。
对于平面Ⅰ、Ⅱ型混合动态裂纹问题来说，裂纹尖端的应力场和位移场的形式与式（12-3）完全一样，所不同的就是把式（12-3）中的静态应力强度因子换为动态应力强度因子即可（刘再华等，1996）。尽管形式一样，但是由于动态应力强度因子是时间的函数，所以动态问题的应力场和位移场也都是时间的函数，因而与静态问题有着本质的不同。下面就根据以上动态裂纹扩展的计算原理对动态裂纹扩展问题进行模拟。
三、算例分析
冲击载荷是工程实践中常见的一种动态载荷，也是引起大多数工程材料破坏的主要外载形式。当冲击载荷作用于含裂纹等缺陷的结构物时，这些结构物的动态断裂行为与静态情况下有很大的差别。冲击载荷作用于物体会产生应力波在物体中传播，当应力波作用于裂纹时，裂纹尖端的应力强度因子将因材料结构和裂纹模式的变化而具有不同的动态响应，并具有不同的起裂和扩展行为。同时，裂纹的动态行为也对应力波的传播具有不同的散射作用，因此存在着各种波与裂纹间的相互作用关系。所以对含裂纹缺陷的结构在冲击载荷作用下动态行为的研究，不仅要研究材料的动态力学性能，而且要对工程结构的安全评估等进行研究。下面利用数值流形方法对冲击载荷作用下裂纹的动态扩展行为进行模拟。
为了与相关试验结果进行对比分析，采用姚学锋等（1996）中的试验模型进行模拟。计算模型为如图12-7所示的含偏置裂纹的简支梁，为了能够更好地观察到裂纹的曲裂现象，简支梁的宽度取得较大，具体尺寸如图所示，所受的载荷为一阶跃的冲击载荷，其大小为107N。梁的弹性常数为：弹性模量E=100GPa，泊松比ν=0.2。对于不同的偏离距离a进行模拟，模拟结果如图12-8所示。
图12-7 含偏置裂纹的简支梁（单位：cm）
由图12-8的模拟结果可以看出，在不同偏置距离的情况下，裂纹的扩展路径表现出不同的曲裂现象，其现象和原因分析如下：
（1）裂纹开始起裂时扩展方向沿着初始裂纹方向，扩展达到一定长度后，开始偏离原来的方向发生曲裂，其方向是朝着冲击载荷作用点的方向。
（2）初始裂纹的偏置距离越大，曲裂发生的时间越早，沿初始裂纹方向扩展的长度也越小，曲裂现象越严重。
（3）裂纹向上扩展到一定长度后，又突然偏离了原来的方向而发生第二次曲裂，最终与上边界贯通。
图12-8 不同偏置距离时的裂纹扩展路径
产生曲裂现象的主要原因是：当冲击载荷产生的弯曲波作用于裂纹时，裂纹尖端作用的力是Ⅰ型和Ⅱ型复合载荷，裂纹的扩展属于Ⅰ-Ⅱ型复合裂纹。偏置距离越小，Ⅰ型应力分量所占有的比重越大，所以刚开始起裂时，裂纹沿着原来的方向扩展。随着偏置距离的增加，裂纹的曲裂程度也有所增加。当裂纹扩展到梁的上半部时，裂纹在惯性作用下继续作曲裂运动，但受到压应力的作用，使得裂纹的扩展速度有所减慢。由于裂纹的扩展导致梁内的应力重新分布，在裂纹尖端的下部出现了一个新的中心点，并在该点的上部和下部分别形成了相应的拉应力分量和压应力分量，这些分量构成了新的弯矩使裂纹产生了第二次曲裂，并最终导致裂纹到达上边界而产生结构的整体破坏。
图12-9为不同偏置距离情况下的裂纹尖端两类应力强度因子随时间的变化关系。从图中可以看到：
（1）KⅠ均大于零，而KⅡ有正有负。正KⅡ和负KⅡ的意义体现裂纹表面相对位移的方向相反。
（2）应力强度因子在开始的时候比较小，随着裂纹扩展长度的增加，裂纹尖端的应力强度因子也迅速增加，最后导致裂纹贯穿，在即将贯穿的最后时刻，应力强度因子出现了波动。但在整个过程中，KⅡ始终是比较小的，这说明在曲裂过程中Ⅰ型裂纹扩展占主导作用，而Ⅱ型裂纹仅占次要地位。
图12-9 不同偏置距离时的应力强度因子随时间的变化曲线图（时间单位：s；应力强度因子单位：104N/m3/2）
（3）从裂纹扩展时间上来看，当偏置距离较小时，裂纹扩展到梁顶部即贯通的时间较短，而随着偏置距离的增加，裂纹扩展的路径也随着加长，裂纹的贯通时间也增大。
（4）从裂纹扩展过程中应力强度因子的大小来看，在同一时刻，随着裂纹偏置距离的增加，裂纹尖端的应力强度因子是逐渐减小的，与理论分析结果一致，因为随着偏置距离的增加，在同样的外力作用下，裂纹受力减小，因而裂纹尖端的应力强度因子也相应地有所减小。
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