什么叫双线性

双线性：设 f 是线性空间 V 上的双线性函数，如果它在某组基下的度量矩阵 A 是可逆矩阵，则称 f 是非退化的双线性函数，否则称为退化的双线性函数。即：

设V1、V2都是域 K 上的向量空间，f 是直积

 到 K 的映射。如果 f 满足

其中

则称 f 是由V1*V2到 K 的双线性型或双线性函数。

扩展资料：

双线性函数（bilinear function ）是线性函数的推广。设V1，V2是域P上的线性空间，V1×V2到P的双线性映射φ称为V1×V2上的双线性函数。特别地，当V1=V2=V时，φ称为V上的双线性函数。半双线性函数（sesquilinear function）是双线性函数的推广。

1、当J为恒等自同构时，半双线性函数即双线性函数。

2、V×V上关于J的半双线性函数φ称为V上的半双线性函数。

3、V中向量α，β在V上半双线性函数φ下的像φ(α，β)称为α与β的内积或纯量积，常简记为(α，β)。当(α，β)=0时，称α与β左正交，也称β与α右正交。

定义：V是数域P上一个线性空间, 是V上一个二元函数,即 ,由 都唯一对应于P中一个数

,若 有性质：

1.

2.

则称 为V上的一个双线性函数

注：双线性函数在一个变元固定时,是另一个变元的线性函数

例：

1.欧氏空间V的内积是V上双线性函数

2.设 都是线性空间V上的线性函数,

则 是V上的一个双线性函数

3.设 是数域P上n维列向量构成的线性空间, , 是P上一个n级方阵,令 ,则 是 上的一个双线性函数

若设

则

是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数 的一般形式

取V的一组基

设

则

令

则 成为

定义：设 是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数, 是V的一组基,则矩阵

称为 在 下的度量矩阵

注：取定V的一组基后,每个双线性函数都对应于一个n级矩阵,即这个双线性函数在基下的度量矩阵,度量矩阵被双线性函数及基唯一确定,且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵不同

反之,任给数域P上一个n级矩阵

对V中任意向量 ,及

其中

用 定义的函数是V上一个双线性函数

易知 在 下的度量矩阵即A

故在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间有一个双射

不同基下的双线性函数的度量矩阵

设 及 是线性空间V的两组基

是V中两个向量

则

若双线性函数 在 及 下的度量矩阵分别为A,B,则

又

故

注：说明同一双线性函数在不同基下的度量矩阵合同

定义：设 是线性空间V上一个双线性函数,若 , ,有 ,则称f非退化

可用度量矩阵判断一个双线性函数是否非退化

设双线性函数 在基 下的度量矩阵为A,则对 , 有

若向量 满足 ,则 ,有

故 而有非零向量 使之成立的充要条件为A退化

故易证双线性函数 是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵

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