晶面指数的确定方法

在晶体中，原子的排列构成了许多不同方位的晶面，故要用晶面指数来分别表示这些晶面。晶面指数的确定方法如下：

1．对晶胞作晶轴X、Y、Z，以晶胞的边长作为晶轴上的单位长度；

2．求出待定晶面在三个晶轴上的截距(如该晶面与某轴平行，则截距为∞)，例如 l、1、∞，1、1、1，1、1、1/2等；

3．取这些截距数的倒数，例如 110，111，112等；

4．将上述倒数化为最小的简单整数，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，一般记为（hkl），例如（110），（111），（112）等。

下面再举例来加以说明：

图1-17中所标出的晶面a1b1c1，相应的截距为1/2、1/3、2/3，其倒数为2、3、3/2，化为简单整数为 4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指数为(463)。图1-18表示了晶体中一些晶面的晶面指数。

图1-17晶面指数的表示方法

图1-18 几个晶面的晶面指数

图1-19 {100}，{111}，{110} 晶面族

对晶面指数需作如下说明：h、k、l分别与X、Y、Z轴相对应，不能随意更换其次序。若某一数为 0，则表示晶面与该数所对应的坐标轴是平行的。例如(h0l)表明该晶面与Y轴平行。若截某一轴为负方向截距，则在其相应指数上冠以“-”号，如（hk）、（kl）等。在晶体中任何一个晶面总是按一定周期重复出现的，它的数目可以无限多，且互相平行，故均可用同一晶面指数（hkl）表示。所以（hkl）并非只表示一个晶面，而是代表相互平行的一组晶面。 h、k、l分别表示沿三个坐标轴单位长度范围内所包含的该晶面的个数，即晶面的线密度。例如，(123)表示在X轴的单位长度内有 1个该晶面，在Y轴单位长度内有 2个该晶面，而在 Z轴单位长度内有 3个该晶面，而其中距原点最近的晶面在三坐标轴上的截距为1、1/2、1/3。在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，这样的一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。在立方系中，晶面族中所包含的各晶面其晶面指数的数字相同，但数字的排列次序和正负号不同。例如图1-19所示，在立方系中：

{100}包括（100）、（010）、（001）；

{110}包括（110）、（101）、（011）、（1-10）、（10-1）、（01-1）；

{111}包括（111）、（11-1）、（-111）、（1-11）。

而{123}则包括（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；

（-123）、（-132）、（-231）、（-213）、（-312）、（-321）；

（1-23）、（1-32）、（2-31）、（2-13）、（3-12）、（3-21）；

（12-3）、（13-2）、（23-1）、（21-3）、（31-2）、（32-1）。

共24组晶面。

在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl] 垂直于（hkl）。例如：[100] 垂直于（100），[110] 垂直于（110），[111] 垂直于（111），等等。但是，此关系不适用于其它晶系。

图1-20 六方晶系面指数

这是密勒指数, 是一种用来确定晶面的指数.

确定一个晶面的密勒指数(h k l)的步骤：

确定该晶面在晶胞坐标轴上的截距(依序为x, y, z轴)

取这些值的倒数

将这些倒数化作最简整数比, 所得的一组数即为密勒指数.

以你图中的(标注为红色)为例: (1上的横线表示负号，即为-1.)

先确定a, b, c分别为x, y, z轴.

[注意]: 由于此平面过原点，在确定其指数时需要对其进行平移，因为晶体具有平移对称性，平移一个晶格单位后的平面和原平面在晶体学上为等价平面.

具体步骤为:

将该平面沿b的反方向移动一个单位

此时该平面切x轴于1，切y轴于-1，平行于z轴(无交点), 记为

其倒数分别为1，-1，0

该组数的最简整数比恰为其本身，即1, -1, 0. 因此该平面的密勒指数即为.

此外，不同括号中的密勒指数具有不同的含义, 例如:

(100)表示唯一的确定平面(100)，即该晶胞/立方体的正面

{100}表示所有和(100)晶体学上的等价平面，即该立方体个6个表面.

[窍门]: 密勒指数在意义上标识的是晶体中的晶面，但从数学角度看，这个指数恰好等于该晶面的法向量.

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