小波基函数的选择2020-05-13

小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：

小波函数 Ψ ( t )、 Ψ (ω)、尺度函数 φ ( t )和 φ (ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时， Ψ ( t )、 Ψ (ω)、 φ ( t )和 φ (ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数 f ( x )，如果自变量 x 在0附近的取值范围内， f ( x )能取到值；而在此之外， f ( x )取值为0，那么这个函数 f ( x )就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若

其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是 Ψ (ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。

消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。

以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。

Haar，一般音译为“哈尔”。

Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。

Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

Daubechies，一般音译为“多贝西”。

Daubechies小波是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。dbN小波的特点是随着阶次（序列N）的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表达式（除了N=1外，N=1时即为Haar小波）

Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3,…,8)。symN小波的支撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。

根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。

为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函娄进行重构。

双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,kδl,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。

该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相位和较短支集的特性。

6、ReverseBior小波

由Biorthogonal而来，因此两者形式很类似。

7、Meyer小波

Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支撑的，但它的收敛速度很快。

8、Dmeyer小波

Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离散小波变换的计算。

9、Gaussian小波

Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。

10、MexicanHat(mexh)小波

Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数。因数它的形状像墨西哥帽的截面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。它在时域和频率都有很好的局部化，但不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。

11、Morlet小波

Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解。

12、ComplexGaussian小波

属于一类复小波，没有尺度函数。

14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets (复高斯B样条小波)

样条函数（splinefunction）指一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。

15、ComplexMorlet小波

Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。

参考： https://blog.csdn.net/heifan2014/article/details/72530858

图像域一般应用于表单中，作用就是触发表单的相关操作，与按钮的功能和类型是类似的，只是以图片的方式显示，单独使用的话是没有什么意义的。都是作为表单内部的对象来使用的。你在浏览网站的时候经常会看到一些很漂亮的水晶提交按钮，就是通过图像域的方式建立的。

图像域是指可以用在提交按钮上的图片，这幅图片具有按钮的功能。使用默认的按钮形式往往会让人觉得单调。如果网页使用了较为丰富的色彩或稍微复杂的设计，再使用表单默认的按钮形式甚至会破坏整体的美感。这时可以使用图像域，创建和网页整体效果相统一的图像提交按钮。

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