（2）①根据题意，易写点A、B、E、F坐标，可求线段PA、PE、PB、PF的长，发现PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依据相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，从而得出EF与AB的位置关系．
②如果过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由S△EFQ=S△PEF，可得出S2的表达式，然后根据自变量的取值范围得出结果．解答：解：（1）四边形PEOF的面积S1=四边形PAOB的面积+三角形OAE的面积+三角形OBF的面积=|k1|+k2；（3分）（2）①EF∥AB．（4分）
证明：如图，由题意可得A（-4，0），B（0，3），，，∴PA=3，PE=，PB=4，PF=
∴，
∴（6分）
又∵∠APB=∠EPF
∴△APB∽△EPF
∴∠PAB=∠PEF
∴EF∥AB；（7分）②S2没有最小值，理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q，
由上知M（0，），N（，0），Q（，）（8分）
而S△EFQ=S△PEF
∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN
=
=
=（10分）
当k2＞-6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12，（11分）
∴0＜S2＜24，S2没有最小值．（12分）
spss 分析方法 - 缺失值分析
缺失值可能会导致严重的问题。如果带有缺失值的个案与不带缺失值的个案有着根本的不同，则结果将被误导。此外，缺失的数据还可能降低所计算的统计量的精度，因为计算时的信息比原计划的信息要少。
另一个问题是， 很多统计过程背后的假设都基于完整的个案，而缺失值可能使所需的理论复杂化。
下面我们主要从下面四个方面来解说：
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实际应用
理论思想
建立模型
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[endif]
分析结果
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一、实际应用
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众所周知，在诸如收入、交通事故等问题的研究中，因为被调查者拒绝回答或者由于调查研究中的损耗，会存在一些未回答的问题。
例如在一次人口调查中，15%的人没有回答收入情况，高收入者的回答率比中等收入者要低，或者在严重交通事故报告中，诸如是否使用安全带和酒精浓度等关键问题在很多个案中都没有记录，这些缺失的个案值便是缺失值。缺失值主要表现为以下3种： （1）完全随机缺失（Missing Completely At Random，MCAR），表示缺失和变量的取值无关。 例如，假设在研究年龄和收入的关系，如果缺失的数据和年龄或收入数值无关，则缺失值方式为MCAR。要评估MCAR是否为站得住脚的假设，可以通过比较回答者和未回答者的分布来评估观察数据。也可以使用单变量t-检验或Little's MCAR多变量检验来进行更正规的评估。如果MCAR假设为真，可以使用列表删除（listwise deletion）（完整个案分析），无须担心估计偏差，尽管可能会丧失一些有效性。如果MCAR不成立，列表删除、均值置换等逼近方法就可能不是好的选择。 （2）随机缺失（Missing At Random，MAR） ， 缺失分布中调查变量只依赖于数据组中有记录的变量。 继续上面的例子，考虑年龄全部被观察，而收入有时有缺失，如果收入缺失值仅依赖于年龄，缺失值就为MAR。 （3）非随机缺失。 这是研究者最不愿意看到的情形，数据的缺失不仅和其他变量的取值有关，也和自身有关。如果收入缺失值依赖于收入值，则既不是MCAR，也不是MAR。
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[endif]
二、理论思想
SPSS主要对MCAR和MAR两种缺失值情况进行分析。
区别MCAR和MAR的含义在于：由于MCAR实际上很难遇到，应该在进行调查之前就考虑哪些重要变量可能会有非无效的未回答，还要尽量在调查中包括共变量，以便用这些变量来估算缺失值。
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[endif]
针对不同情况的缺失值，SPSS操作给出了以下3种处理方法：
（ 1 ）删除缺失值， 这种方法适用于缺失值非常少的时候，它不需要专门的步骤，通常在相应的分析对话框的“选项”子对话框中进行设置。
（ 2 ）替换缺失值 ，利用“转换”菜单中的“替换缺失值”命令将所有的记录看成一个序列，然后采用某种指标对缺失值进行填充。
（ 3 ）缺失值分析过程 ，缺失值分析过程是SPSS专门针对缺失值分析而提供的模块。
缺失值分析过程有以下3个主要功能： （ 1 ）描述缺失值的模式。 通过缺失值分析的诊断报告，用户可以明确地知道缺失值所在位置及其出现的比例是多少，还可以推断缺失值是否为随机缺失等。 （ 2 ）利用列表法、成对法、回归法或 EM （期望最大化）法等为含缺失值的数据估算平均值、标准误差、协方差和相关性，成对法还可显示成对完整个案的计数。（ 3 ）使用回归法或 EM 法用估算值填充（插补）缺失值，以此提高统计结果的可信度。 缺失数据可以是分类数据或定量数据（刻度或连续），尽管如此，SPSS只能为定量变量估计统计数据并插补缺失数据。对于每个变量，必须将未编码为系统缺失值的缺失值定义为用户缺失值。舍尔判别法利用投影的方法使多维问题简化为一维问题来处理。其通过建立线性判别函数计算出各个观测量在各典型变量维度上的坐标并得出样本距离各个类中心的距离，以此作为分类依据。
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[endif]
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[endif]
三、建立模型
缺失值分析案例：
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题目：下表的某些人口统计数据值已被缺失值替换。该假设数据文件涉及某电信公司在减少客户群中的客户流失方面的举措，每个个案对应一个单独的客户，并记录各类人口统计和服务用途信息。下面将结合本数据文件详细说明如何得到数据文件的缺失值，从而认识SPSS的缺失值分析过程。
一、数据输入
二、操作步骤 1、进入SPSS，打开相关数据文件，“分析”|“缺失值分析”命令2、选择“婚姻状况[marital]”“受教育水平[ed]”“退休[retire]”及“性别[gender]”4个变量进入“分类变量”列表框；选择“服务月数[tenure]”“年龄[age]”“在现住址居住年数[address]”“家庭收入（千）[income]”“现职位工作年数[employ]”及“家庭人数[reside]”6个变量进入“定量变量”列表框。
3、在“缺失值分析”对话框中单击“模式”按钮，弹出“缺失值分析：模式”对话框，选中“显示”选项组中的“个案表（按缺失值模式分组）”复选框，从“以下对象的缺失模式”列表框中选中income、ed、retire和gender 4个变量进入“以下对象的附加信息”列表框中。
其他采用默认设置。设置完毕后，单击“继续”按钮，回到“缺失值分析”对话框。
4、单击“描述”按钮，弹出“缺失值分析：描述”对话框。选中“单变量统计”复选框及“指示符变量统计”选项组中的“使用由指示符变量构成的组执行t检验”和“生成分类变量和指示符变量的交叉表”复选框，其他采用默认设置。
5、勾选EM，其余设置采用系统默认值即可。单击“确定”按钮，等待输出结果。
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[endif]
四、结果分析
1、单变量统计表下表给出了所有分析变量未缺失数据的频数、平均值和标准差，同时给出了缺失值的个数和百分比以及极值的统计信息。通过这些信息，我们可以初步了解数据的概貌特征，以employ一栏为例，employ变量的有效数据有904个，它们的平均值为11，标准差为10.113，缺失数据有96个，占数据总数的比例为9.6%，有15个极大值。
2、估算表下两个表使用EM法进行缺失值的估算后，总体数据的均值和标准差的变化情况，其中“所有值”为原始数据的统计特征，EM为使用EM法后总体数据的统计特征。
3
、独立方差t检验表独立方差t测试结果，用户可以从中找出影响其他定量变量的变量的缺失值模式， 即通过单个方差 t 统计量结果，检验缺失值是否为完全随机缺失。 可以看出，年龄大的人倾向于不报告收入水平，当收入值缺失时，age的均值是49.73，当收入值完整时，age的均值为40.01。通过income一栏的t统计量可以看出，income的缺失将明显影响其他定量变量，这就说明income的缺失不是完全随机缺失。
4、分类变量和定量变量交叉表以marital为例给出了分类变量与其他定量变量间的交叉表。该表给出了在不同婚姻情况下，各分类变量非缺失的个数和百分比，以及各种缺失值的个数和百分比，图中标识了系统缺失值的取值，以及各变量在不同婚姻情况中的分布情况。
5、表格模式输出结果下表给出了表格模式输出结果（缺失值样式表），它给出了缺失值分布的详细信息，X为使用该模式下缺失的变量。由图可以看出，所有显示的950个个案中，9个变量值都完整的个案数有475个，缺失income值的个案有109个，同时缺失address和income值的个案有16个，其他数据的解释类似。
6、EM估算统计表下面三个表给出了EM算法的相关统计量，包括EM平均值、协方差和相关性。从EM平均值输出结果中可知，age变量的平均值为41.91，从EM协方差输出结果中可知，age和tenture间的协方差值为135.326，从EM相关性输出结果中可知，age与tenture的相关系数为0.496。另外，从三个表格下方的 利特尔的MCAR检验可知，卡方检验的显著性值明显小于0.05，因此，我们拒绝了缺失值为完全随机缺失（MCAR）的假设 ，这也验证了3、独立方差t检验表所得到的结论。
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[endif]
参考案例数据：
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[endif]
[if !supportLists]【1】 [endif]spss统计分析从入门到精通 (第四版) 杨维忠,陈胜可,刘荣 清华大学出版社
（获取更多知识，前往gz号程式解说）
原文来自https://mp.weixin.qq.com/s/CsMIoA_vu8HJoPvW16oNFg
称重传感器的误差来源一个泊松电桥（两个应变计测量主应变，另两个应变计测量由于泊松比影响而产
生的应变）是固有的非线性电桥。对于一个灵敏度为
2.0mv/v的称重传感器，
这种固有的非线性大约为
0.10%。电桥的非线性可以被另一个非线性部分所抵
消一些。引起另一个非线性的原因是由于泊松比使得柱式弹性体横截面面积增加
或减少。例如，当称重传感器承受压向载荷时，横截面面积增加，使压缩应力减小；当承受拉向载荷时，就是相反的情况。对于一个灵敏度为
2.0mv/v的称重
传感器，由于截面积变化引起的非线性误差大约为
0.05%，所以总的非性误差
为
0.10%～0.05%或者
0.05%。这是非常小的通常可以忽略不计，但是在称重
传感器检测数椐中，这是应该被检测的误差。精密的商用称重传感器应利用附加
的半导体应变计，此半导体应变计被粘贴在弹性体上，并串联在电桥电路的供桥
端来补偿非线性。
注意图
2圆柱式弹性体上应变计的安排，全部应变计被粘贴在同一个平面上，例
如纵向应变计
1和
3为
0°和
180°，横向应变计
2和
4为
90°和
270°，且所有
应变计的中心线处于一个横截面的水平线上。圆柱上的应变计如图
2安排，柱式称重传感器的误差来源有两
个原因：
（A）弯曲应力是误差的来源之一，必须使之最小化。理论上，当应变计如图
1
和
2粘贴连线时（如测量拉伸与压缩应力），弯曲应力被消除。因为并不存在准
确完美的贴片，建议采取其它方法使得弯曲应力产生的误差尽可能接近于零。在
圆柱上弯曲力矩的方向通常是可以确定的，应变计应粘贴在圆柱弯曲力矩最小
处，且在中轴线上（见图
2），那里的弯曲应力理论上为零。
（B）如果圆柱大且应变计在同一个平面间隔
90°粘贴，圆柱周围的任何温度变
化都会导致信号漂移。所以电桥相邻两臂的应变计应尽量靠近粘贴，从而减少温
度误差，这也是利用
90°应变花的原因之一。
弯曲型称重传感器
柱式称重传感器的误差来源设计过程与柱式结构有所不同，概述如下：
（A）由公式（3）和（4）确定有效应变
N，通常是用公式（4）。
（B）为提供所需要的输出，由公式（6）确定要求的应变。
（C）通过公式（9），由应变算应力。
（D）根据载荷与尺寸大小建立应力公式。
（E）为计算所需尺寸大小，用（
C）中计算出的应力替代（
D）中产生的应
力。
这是为满足所需要的输出，求得称重传感器尺寸大小的最普通方法。另一方面，
如果已给出了尺寸大小，而输出
E0/Ei是所要求得的，那么应依照前面所介绍的
圆柱式称重传感器计算过程，应用公式（
3）和（
4），之后是公式（
7）和（
8），
最后是公式（5）得到输出灵敏度
E0/Ei。
图
3在载荷
P作用下标准的双梁弯曲型称重传感器
图
3是在载荷
P作用下一个典型的双梁弯曲型称重传感器简图，为了看得清晰，
去掉了外壳并加大了偏转度。这种商用称重传感器用于测量较低的载荷，应变计
粘贴位置如图
3所示。图
1所示的电桥电路仍然有效。
图
4半根弯曲梁显示的
2片应变计位置图
图
4是一个自由体的简图，粘贴有
2个应变计的半根应变梁。通常梁的大多数
尺寸是固定的，厚度
h根据所需要的输出进行计算。例如假定所需要的输出灵敏
度
E0/Ei是
3.0mv/v，首先计算出有效应变值，既然所有的应变计产生相等的应
变，由公式（
3）和（
4）得出
N=4。制造商提供的应变计灵敏系数为
2.1，接下
来为提供所需要的输出，需要求出的应变
e1可以通过公式（6）求得，即
又可写为：
e1=1429微英寸/英寸。
弹性体材料为
17—4PH不锈钢，Em=29.1×106磅/英寸
2。弯曲应力
Sb由公式
（6）计算出应变
e1，代入公式（9）得出，即
Sb=e1Em=1429×10-6×29.1×106=41.580磅/英寸
2。
在弯曲梁中求弯曲应力的传统公式如下：
式中：M—应变计
2在中心线上的弯矩。
C—从中性轴到梁表面的距离。
J—应变计所在截面的惯性矩。
图
5弯曲梁上应变计到表面距离引起的误差
图
4和图
5给出
p=P/2，C=h/2，l=L/2，M=pl，对于矩形截面
J=bh3/12，把
这些值代入
Sb=Mc/J中，得出
Sb=6pl/bh2，h的计算公式为：
现以用数值表示的实例进行说明，假设截面尺寸与载荷如下：
柱式称重传感器的误差来源
L—应变计中心线之间的距离，L=1.00英寸，l=L/2=0.50英寸。
P—满量程载荷，P=100磅，p=P/2=50磅。
b—梁的宽度，b=0.625英寸。
柱式称重传感器的误差来源代入公式（10）得出的结果是：弯曲型称重传感器的误差来源
弯曲型称重传感器的误差来源，其一是由于粘贴在梁上的应变计，所用的应变
粘结剂和防护涂料增加了非常薄的应变梁的刚度。因为应变计、应变粘结剂和防
护涂料不会完全具有弹性，这一附加刚度就会引起滞后和非线性误差。根据估算
如果钢制弹性应变梁贴片处的厚度小于
0.017英寸（0.43mm），铝制弹性应
变梁的厚度小于
0.030英寸（0.76mm），就会出现小的误差。其二如果不考
虑被粘贴的应变计与表面的那段距离（见图
5中的
d），那么当你计算非常薄的
梁的厚度时就会出现误差。因为应变计的应变值与其到中性轴的距离成正比，所
以梁的表面应变
es比应变计的应变
e2小一些。为阐明这点，我们假定上面梁的
厚度
h为
0.018英寸，为了求出所需要的输出，仍需假定应变计的应变为
1429
微英寸/英寸，则重新计算的表面应变为：
式中：C=h/2=0.018/2=0.009英寸。
d≈0.0015英寸。
被利用的新的应变为：
为提供所需要的输出计算应变的误差，应该比这个例子大约高出
17%，这只是
计算梁厚度的一个估计的误差，并不是一个操作性的误差。
剪切型称重传感器
当载荷超过了弯曲型称重传感器的要求时，应设计成剪切型结构，但是，当载荷
超过
200000磅（90718kg）时，建议采用柱式结构。
剪切应变是一个角应变，不能像轴向应变那样进行测量，只能间接测量。莫尔
圆有关纯剪切应力情况及应变计粘贴简图如图
6所示。
图
6莫尔圆及应变计分布简图
莫尔圆表明切应力的最大值与处于拉伸状态的主应力的最大值是相等的，并且
与梁的中性轴成
45°方向。应变计是测量主应力产生的应变，因此应变计也同样
应与中性轴成
45°，如图
6所示。此图同样表明一个没有载荷作用的平面部分正
方形单元，当有载荷作用时正方形会变成菱形，使得一个应变计处于拉伸状态，
而另一个应变计处于压缩状态。请注意应力是双轴的，其处于拉伸状态的主应力
的轴向应变值不但与
St成正比，而且随泊松比μSc而增加：
式中：e1—应变计
1的测量应变。
—单轴向范围内的基准应变，
=S/Em。
μ—泊松比。
电桥各桥臂上的应变计承受同样的应变值，所以利用电桥总应变公式，可写为：
因为
所以
N=4（1+μ）泊斯特（
Purest）会议有学者认为这是不
符合规则的，因为
e1‘并没有真实的存在，但是它确实提供了正确的答案，并
在
N值计算中有它是很方便的。用于计算所要求的可以提供所需输出的应变算
公式（6）可变为：
柱式称重传感器的误差来源计算出所要求的单轴应变
e1‘后，应力通过公式（9）获得，即
能否准确计算出称重传感器上的应力，因切应力的种类和弹性体的结构不同而
产生很大的差异。例如，一个承受纯剪切应力状态的扭转轴，其切应力计算可由
下面典型的公式得出：
式中：Ss—切应力（与主应力的最大值相等）。
T—轴上的扭矩。
r—轴的半径。
J—横截面极惯性矩。
另一方面，直接利用剪切载荷准确的确定称重传感器上的切应力是极为困难的。
对于剪切型轴销式称重传感器更是如此，下面列举了一些不够精确的原因：
（A）应变计是通过其栅长测量的是应变区的平均应变。如果在应变区内切
应力的变化曲线非常陡，且应变计尺寸非常大，所测量的应变值就会比峰值小。
（B）最大切应力只用了直接作用于其上的最大剪切载荷的一部分。公式假
设剪切载荷在一个已知的面积内，从底部到顶部较均匀分布，且切应力最大值均
匀分布在中性轴上。
（C）称重传感器上的载荷分布还应与安装接头的影响相吻合，如剪切型轴
销式称重传感器，其载荷分布取决于轴销与安装接头两者之间的公差，所受载荷
由于安装间隙不同而异。我们将讨论三种切应力称重传感器。准确计算为保证所
需输出的弹性体尺寸，与以前所用的程序完全一样。首先进行粗略计算，最后给
出准确结果。切应力称重传感器尺寸大小的计算准确率，不如圆柱、弯曲和扭转
型称重传感器。
工字形截面切应力称重传感器最普通的用于计算切应力的公式为：
式中：Sa—平均切应力。
V—剪切载荷。
A—受剪部分的截面积。
这个公式可以用来计算破坏载荷，但不能给出弹性体粘贴应变计处中性轴上切应
力的最大值。对于切应力的最大值的计算公式，应随着受剪截面的形状不同而变
化。称重传感器的误差来源
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