高中数学双曲线满足三角形F1PF2面积问题

如果你知道公式，可以直接用公式：S = b^2*cot(θ/2) ，其中 θ 就是角 F1PF2 。这叫焦点三角形面积公式。

下面就证明下，你记住后就可以用了。椭圆中类似，是 S = b^2*tan(θ/2) 。

设 |PF1|=m，|PF2|=n ，

由余弦定理，|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|*cosθ = |F1F2|^2 ，

也即 m^2+n^2-2mncosθ = 4c^2 ，------------（1）

又由双曲线定义，| |PF1|-|PF2| | = 2a ，

平方得 m^2+n^2-2mn = 4a^2 ，-------------（2）

（1）-（2）得 2mn-2mncosθ = 4(c^2-a^2) = 4b^2 ，

因此可得 mn = 2b^2/(1-cosθ)，

所以，S = 1/2*|PF1|*|PF2|*sinθ = 1/2*mn*sinθ

= b^2*sinθ/(1-cosθ)

= b^2*cot(θ/2) 。这里用到倍角公式。

双曲线pf1与pf2的关系是PF1-PF2=2a，一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

PF1^2-PF2^2=(2c)^2=4c^2=4*5=20

即有(PF1+PF2)(PF1-PF2)=20

PF1+PF2=6

故有PF1-PF2=20/6=10/3

即有PF1=(6+10/3)/2=14/4,PF2=(6-10/3)/2=4/3

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