离散数学

定义 : 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,…, Pn为所有出现在A、B中的原子命题，若给P1,P2,…, Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的，记A B或

A＝B。

等值定理：AB当且仅当AB是永真式

等价公式

对合律 :

幂等律 : ,

结合律 : ,

交换律 :

分配律 : ,

吸收律 : ,

德摩根律 : ,

同一律 : ,

零律 : ,

否定律: ,

定义 : 如果公式 是重言式,则称A重言(永真)蕴含式B 记作 .

,

,

,

,

,

,

个体词 : 指研究对象中可以独立存在的具体或抽象的个体

个体域(论域) : 个体变项的取值范围

谓词 : 刻画个体词的性质以及个体之间相互关系的词

量词 : (存在量词), (全称量词)

个体域有限,

注意: 全称量词对合取分配, 存在量词对析取分配!

P是不包括个体变量 的任意谓词公式

A为一阶逻辑公式, 若A具有形式:

且 为全称量词或存在量词, B为不含量词的公式

并

交

相对补

对称差

绝对补

逆

合成

数学就是不断抽象的过程。。。

我们来看个例子：

所有的人都比 madao756 帅，你是人，所以你比我帅

在之前的「命题逻辑」中，我们只能把它抽成三个「简单命题」

符号化以后就变成

单从结果来看，其实损失了一些关键信息：比如「所有人」。

于是数学家们想出了一个更好的，更完美的方法，表示上述命题，我们把它叫做「一阶逻辑」。

为了将上述「你比我帅」抽成「一阶逻辑」的形式，我们得先学一点基础知识：

先有一个感性地认识：

其中「...最好看」就是一个「谓词」，抽象成数学就变成：

F(x) : x 最好看 ，F(x) 就是一个谓词。

类似的还有很多很多：

...

量词是「一阶逻辑」中的关键，因为之前的「命题逻辑」并不能很好的体现「所有」、「存在」这样的描述词语

量词也很简单就两个：

像我们之前的「所有」、「一切」这样的词就可以抽象成「全称量词」用符号表示

我们说的什么「存在」、「有」这样的词就可以抽象成「存在量词」用符号表示

结合「谓词」和「量词」，我们就可以将一些命题抽象成「一阶逻辑」

比如「所有人都比 madao756 帅」可以抽象成，

谓词：F(x): x 比 madao756 帅

量词：

你有没有一种感觉，差了点什么？

在说谓词的时候，F(x): x 比 madao756 帅。x 是啥？是猪？「猪比 madao756 帅」？就没个定义域啥的？有的！

首先，先感性地认识「个体词」

小王、小李、madao756 可以是个体词，F(x): x 比 madao756 帅中的 x 也是个体词。前者与后者的具体差别就是：前者是固定的我们叫做「个体常项」后者不是固定的我们叫做「个体变项」

而「个体变项」的范围就是「个体域」

有一个特殊的「个体域」：它是宇宙一切事物组成的，称作「全总个体域」

现在我们根据 0X01 中的内容做一些题目：

将下述命题 分别 在 D1 和 D2 的「个体域」下「一阶逻辑」化

1）凡人都呼吸

2）有的人用左手写字

个体域 D1 为人类集合

个体域 D2 为全总个体域

由于上述命题是对人而言的也就是说，应该将上述命题写成：

1）如果个体是人，个体呼吸

2）如果个体是人，有的人用左手写字

所以我们要搞出一个定义人的谓词：M(x) : x 是人，写成：

1）

2）

在和中，由于有量词的存在，我们称量词后面的 x 是「指导变元」

量词后面的或者我们叫做：「辖域」

中所有 x 的出现，我们叫做 「约束出现」

而在 中所有 y 的出现，由于没有对 y 进行量词限制，所以对于中出现 y，我们叫做「自由出现」

对于中给 x 值这一动作叫做「赋值」

而将 F(x) 定义为 x 是大佬。这一动作叫做「解释」

第四章结束。。。

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