浮点数表示方法

浮点数是一种公式化的表达方式，用来近似表示实数，并且可以在表达范围和表示精度之间进行权衡（因此被称为浮点数）。

浮点数通常被表示为：

N=M×R^E

比如：12.345=1.2345×10^1

其中，M(Mantissa)被称为浮点数的 尾数 ，R(Radix)被称为阶码的 基数 ，E(Exponent)被称为阶的 阶码 。计算机中一般规定R为2、8或16，是一个确定的常数，不需要在浮点数中明确表示出来。

因此，在已知标准下，要表示浮点数。

一是要给出尾数M的值，通常用定点小数形式表示，它决定了浮点数的表示精度，即可以给出的有效数字的位数。

二是要给出阶码，通常用定点整数形式表示，它指出的是小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。因此，在计算机中，浮点数通常被表示成如下格式：（假定为32位浮点数，基为2，其中最高位为符号位）。

浮点数的规格化表示

按照上面的指数表示方法，一个浮点数会有不同的表示：

0.3×10^0；0.03×10^1；0.003×10^2；0.0003×10^3。

为了提高数据的表示精度同时保证数据表示的唯一性，需要对浮点数做规格化处理。

在计算机内，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须大于基数的倒数，即｜M|≥1/R。

即要求尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。

ieee754标准的32位浮点规格化数是00111110110110000000000000000000。

第一，先转换为二进制数，第二，转化为规格化数，第三，按1823转化。

27/64=0.421875用二进制数表示为0.011011=1.1011×e^(-2)。

E=e+127=125用二进制数表示为01111101。

M=1011。

S=0。

SEM即：00111110110110000000000000000000。

单精度浮点数极值情况规定，最大的非规约数实际指数为-126，有偏移指数为0，指数域为00000000；最大的规约数实际指数为127，有偏移指数为254，指数域为11111110。

IEEE754标准的相关要求规定：

1、对于一个数，其二进制科学计数法表示下的指数的值，为指数的实际值；而根据IEEE 754标准对指数部分的编码的值，为浮点数表示法指数域的编码值。

2、指数偏差（表示法中的指数为实际指数减掉某个值）为 ，其中的e为存储指数的比特的长度。减掉一个值为指数必须是有号数才能表达很大或很小的数值，但是有号数通常的表示法——补码，将会使比较变得困难。

计算机组成原理：

若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如，十进制数可以表示成1.11×100，0.111×101,0.0111×102等多种形式。

整数部分：

小数部分：

例如：浮点数 4.8125

整数部分：

小数部分：

将整数与小数部分连接起来就是 100.1101 ，即 =

再如：浮点数 0.05

因为只有小数所以只处理小数部分：

可以看到二进制小数是无法准确表示浮点数的，所以就有了精度一说.

单精度浮点数用32位二进制表示如下：

双精度浮点数用64位二进制表示如下：

由上可知，

单精度浮点数精度为 pow(2,23) = 8388608 = 0.8388608 x pow(10,7)

所以单精度浮点数对应的10进制精度为 7 位多

双精度浮点数精度为 pow(2,52)-1 = 4503599627370496 = 0.4503599627370496 x pow(10,16)

所以双精度浮点数对应的10进制精度为 16 位多

移码（又叫增码）是由补码的符号位取反得到，一般用指数的移码减去1来做浮点数的阶码，

引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。为了保证浮点数的机器零为全0。

对于定点整数，计算机一般采用补码的来存储。

正整数的符号位为 0，反码、补码、原码都一样。

负整数的符号位为 1，原码、反码和补码的表示各不相同，

由原码变成反码和补码有如下规则：

浮点数二进制表示：

比如十进制4.5的单精度浮点数的二进制 =表示为上述公式则为

看到这里的 E 为 2 ，那么它在计算机实际存储为 2 + 127 = 129 =

根据上面的公式各部分表示的规则得到一个32位浮点数表示如下表：

符号位为 0 表示是正数，所以 4.5 的二进制存储为 0 10000001 00100000000000000000000 ,即 = 0x40900000

以下 tool.c 是一个测试工具：

下面是我们把上述二进制转为二进制浮点数

如果得到阶码是负数比如下面的 0.5 和 0.05 ，规则是先在首位补 1 ，然后向左移动小数点，不够补 0

综上我们知道

阶码为正小数点 右移 ，先移动小数点再补 1 。

阶码为负小数点 左移 ，先补 1 再移动小数点，不足补 0

二进制浮点数转10进制浮点数，这里是单精度，双精度同理

根据公式定义：

0.15625 二进制表示如下:

转换如下：

IEEE754 Wiki

单精度浮点数

双精度浮点数

浮点数表示

二进制浮点数在线转换

---