设F是个有4个元素的域,证F的特征值是2,F中任一非零元或单位元e的元素x均满足方程x^2=x+e

（不知道对应中文的名词我用英文代替了，抱歉）首先任意有限数域都是素数平方的order，而数域是一个domain，所以特征值要么0要么素数，但是数域有限，所以只能是素数，而且不能大于4，所以只能是2或者3。根据Lagrange theorem, 我们必须有特征值整除4，所以只能是2

假设x是数域内非零非单位元的元素，那么由于e+e=0，所以0=x(e+e)=xe+xe=x+x. 所以剩下的一个元素y必须是x的multiplicative inverse， 即xy=e。由于F只有4个元素0，e，x， y, 所以x+e必须为其中一个：若x+e=0,则x=e，矛盾； 若x+e=e,则x=0，矛盾；若x+e=x,则x+x=x+e+x，即 0=e，矛盾；所以必须有x+e=y，所以x(x+e)=x^2+x=xy=e，得到x^2=x^2+x+x=e+x，同理对y成立。

定义域（domain of function）是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。含义是指自变量 x的取值范围。

到当前书本上出现过三种对域的不同定义，第一种定义：设F是一个有单位元e1（≠0）的交换环（即对于乘法运算可交换）。如果F中每个非零元都可逆，称F是一个域。比如有理数域，剩余类域，典型域，有理函数域，半纯函数域等等。

第二种定义，设<R，+，* >；是环，如果<R，+>和<R-{0},*>都是交换群（“0”为<R,+>的幺元）且满足分配律，则称<R，+，*>是域。比如：有限整数环<R，+，*>必是域。

第三种定义：设F是一个含有非零数的数集。如果F对于数的四则运算都封闭，那么称系统（F；+，－，×，÷）为一个数域。

值域：数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。

f'(x)=nx^{n-1}

当charF=0或者不是n的因子的时候 ( f(x), f'(x) ) = 1，这就说明f(x)在F的分裂域上没有重根（楼上的例子没问题，讲清楚根的范围就行了）

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