层次分析法确定指标权重的计算方法?

构造判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系,但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例.

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化.此外,当影响某因素的因子较多时,直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据.为看清这一点,可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成 小块,你可以精确称出它们的重量,设为 ,现在,请人估计这 小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量）,此人不仅很难给出精确的比值,而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据.

设现在要比较 个因子 对某因素 的影响大小,怎样比较才能提供可信的数据呢?Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法.即每次取两个因子 和 ,以 表示 和 对 的影响大小之比,全部比较结果用矩阵 表示,称 为 之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）.容易看出,若 与 对 的影响之比为 ,则 与 对 的影响之比应为 .

定义1 若矩阵 满足

（i） ,（ii） （ ）

则称之为正互反矩阵(易见 , ).

关于如何确定 的值,Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度.下表列出了1~9标度的含义：

标度 含

义

1

3

5

7

9

2,4,6,8

倒数 表示两个因素相比,具有相同重要性

表示两个因素相比,前者比后者稍重要

表示两个因素相比,前者比后者明显重要

表示两个因素相比,前者比后者强烈重要

表示两个因素相比,前者比后者极端重要

表示上述相邻判断的中间值

若因素 与因素 的重要性之比为 ,那么因素 与因素 重要性之比为 .

从心理学观点来看,分级太多会超越人们的判断能力,既增加了作判断的难度,又容易因此而提供虚假数据.Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性,实验结果也表明,采用1~9标度最为合适.

最后,应该指出,一般地作 次两两判断是必要的.有人认为把所有元素都和某个元素比较,即只作 个比较就可以了.这种作法的弊病在于,任何一个判断的失误均可导致不合理的排序,而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的.进行 次比较可以提供更多的信息,通过各种不同角度的反复比较,从而导出一个合理的排序.

在建立评价指标体系后，合理的确定指标权重是进行评价工作的基础。各个评价指标权重的准确性和评价指标体系的客观性，直接影响评选结果的真实性和准确性。

1.层次分析法的基本步骤

层次分析法所采用的导出权重的方法是两两比较的方法，通过两两比较，构造判断矩阵。为此，针对上一准则层，在下一准则层同一层次上的各因素，按其优良程度或重要程度可以划分成若干等级，赋以定量值，这种确定的方法称分级定量法。一般可以采用5级定量法；即相等、稍强、强、很强、极强，相应的赋值可以是1、3、5、7、9，如表7-10所示。相应的，与之相比较的另一个因素，其定量赋值可取为上述1、3、5、7、9的倒数。

表7-10　重要性标度含义表

如果有些问题的分级可有较高的精确度，认为上述5级定量法不能描述清楚，则可用2、4、6、8四个数进行内插，成为9级定量法。在有的场合，甚至可以采用1～9之间的任一实数进行内插。

1）建立递阶层次结构

应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。

AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：

目标层（最高层）：指问题的预定目标；

准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；

措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；

通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。

最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。

明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。

2）构造判断矩阵并请专家填写

构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。

填写判断矩阵的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值。

根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写aij=1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n（n-1）/2个元素就可以了。

在9级定量法中aij值与被比较元素的相对重要程度之间的对应关系如下：

Ai与Aj同样重要：aij=1,aji=1

Ai与Aj稍微重要：aij=3,aji=1/3

Ai与Aj明显重要：aij=5,aji=1/5

Ai与Aj非常重要：aij=7,aji=1/7

Ai与Aj极端重要：aij=9,aji=1/9

3）单准则排序

单准则排序指根据判断矩阵计算针对某一准则下层各元素的相对权重，并进行一致性检验的过程。

设针对某一准则，各元素的权重向量为

W=（w1,w2,w3…wn）T

可以通过求解下列方程得到W

AW＝λmaxW

式中：λmax是矩阵A的最大特征值。

在实际应用中，因不需要追求很高精度，可采用近似方法计算，利用几何平均法来计算W和λmax。

计算步骤如下：

（1）计算判断矩阵A中每行几何平均值

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得到 。

（2）对向量 进行归一化处理

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向量W=（w1,w2…，wn。）T，即为所求权重向量。

（3）求最大特征值λmax，由Aw=λmaxW，得

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4）判断一致性

一致性检验的步骤如下：

（1）计算一致性指标C.I

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（2）查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.

据判断矩阵1-10阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。

表7-11　平均随机一致性指标

③ 计算一致性比例C.R.并进行判断

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当C.R.＜0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，G.R.＞0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。

2.评价指标权重的确定

首先明确要地源热泵系统的效益是评价工作的总目标，经济指标、技术条件、环境影响、社会效益4个评价指标是准则层，整理出递阶层次结构。这样构成的递阶层次结构如7-3图。

图7-3　递阶层次结构示意图

构造经济效益的判断矩阵如表7-12，请相关专家共15人，用9级定量法，按评价指标所在行，对每一列的评价指标，进行两两比较，对应进行打分。

表7-12　经济效益判断矩阵

根据专家打分矩阵中的数据计算得到各个元素权重，计算过程是：先用式（7-1）计算 ，再用式（7-2）将 归一化得到wi。用（7-3）求最大特征值λmax，按式（7-4）和（7-5）对判断矩阵进行一致性检验。当C.R.≤0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.＞0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求。

下面给出某专家打分的数据，计算得到的各个元素权重也在表中列出。

表7-13　某专家打分的经济效益判断矩阵

对判断矩阵具体演算不详细描述，下面对判断矩阵进行一致性检验如下：

由矩阵

和权重向量W=（0.489,0.304,0.137,0.070）T

可计算出

用（7-3）式求最大特征值：

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用（7-4）式求矩阵的一致性指标：

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由表7-2查出4阶判断矩阵数的平均随机一致性指标R.I.为0.90，根据式（7-5）

可算出矩阵一致性比例：

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C.R.＜0.1，认为判断矩阵A有满意的一致性。

本次工作共有18名专家参与打分，根据各个专家对判断矩阵的打分情况，分别进行计算权重向量、最大特征值、一致性指标、一致性比例。通过对判断矩阵的打分进行一致性检验，共有15个打分矩阵具有满意的一致性，对其计算的权重向量进行加权平均计算，得到权重向量：W=（0.3174,0.3529,0.1770,0.1527）T，即经济指标权重0.3174，技术条件权重0.3529、环境影响权重0.1770、社会效益权重0.1527。

图7-4　本次各专家权重打分柱状图

由本次各专家对判断矩阵的打分柱状图可以看出，不同的专家对各个评价指标的打分是不同的，各有侧重，有的认为经济指标更重要，有的认为技术条件更重要，有的认为技环境影响、社会效益更重要。权重的打分存在较大的主观性，也真实的反应了不同的专家对评价指标的认识，对计算得到的权重向量进行加权平均，较为客观的确定各个评价指标的权重。

由最后计算各个评价指标的权重可知，权重排序为技术条件第一（0.3529），经济指标第二（0.3174），环境影响位居第三（0.1770），社会效益第四（0.1527）。可以看出它符合当前重视技术条件，科学发展的趋势，适宜开采的浅层地温能资源是基础，日益成熟的地源热泵技术是手段，经济效益与环境保护和社会效益并重是发展的趋势，与我国目前可持续发展的经济战略是相符合。

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