线性空间和欧氏空间的区别和联系

联系：线性空间中的向量对应于欧几里得平面中的点，在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。

区别：

一、指代不同

1、线性空间：解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

2、欧氏空间：是一个特别的度量空间，使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流行的定义上发挥了作用。

二、特性不同

1、线性空间：实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

2、欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

三、扩展不同

1、线性空间：在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积

2、欧氏空间：是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

参考资料来源：百度百科-线性空间

参考资料来源：百度百科-欧氏空间

f(x)和g(x)互质表明f(x)和g(x)没有公共根，从而g(A)的特征值都不为0，再利用Cayley-Hamilton定理得到g(A)^{-1}一定是A的多项式。

补充：

λ是A的特征值当且仅当g(λ)是g(A)的特征值。

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