星形线的星形线的性质

最先对星形线进行研究是Johann Bernouli。星形线由于有四个尖端，所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid)。星形线于1836年被正式定名，首次出现在正式出版的图书（出版于维也纳）中。星形线还有许多有趣的名称：cubocycloid和paracycle。

若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线方程为

T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y（0,Y），则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。

在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。

(阴影里的另一个弧是圆的一部分以做对比)

由对称性,S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8

拓展资料

星形线是内摆线的一种。星形线（astroid）或称为四尖瓣线（tetracuspid），是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。

旋转体表面积  ：（12*π* a^2）/5 

旋转体体积： （32*π*a^3）/105

面    积 ：（3*π*a^2）/8

性质：

最先对星形线进行研究是Johann Bernouli。星形线由于有四个尖端，所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid)。星形线于1836年被正式定名，首次出现在正式出版的图书（出版于维也纳）中。星形线还有许多有趣的名称：cubocycloid和paracycle。若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。

推导方法：

讲到星形线，就不得不提内摆线，其实星形线属于内摆线的一种，所以我要从内摆线开始讲起。

想象一下一个正方形，四边满足方程。

|x|+|y|=1。

然後你把这个正方形的四个边分别向原点拉，拉出一道弧线，这个就是星形线啦~至於方程嘛，你把这个正方形扩大一下，让他截距是a就有了一般的星形线方程。然後参数坐标里的\theta就是星形线上一点於原点连线和x正半轴的夹角。

容易证明星形线的任意切线夹在两坐标轴之间的线段长为定长R，这就相当于一把梯子靠在墙角滑动时梯子所形成的包络曲线，折叠公交车门就是使用了星形线设计减少了门开关时的活动面积。

总结方法：

其实再深入的话还有外摆线，平摆线，渐开线等等，它们都属于摆线族，其参数方程的形式有点相似，这里有个摆线绘制网站，其实就是小时候玩过的繁花规，通过设定不同的参数可以绘制出不同的漂亮曲线。

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