有关一个有限域的问题

1. Z_8按照通常的加法和乘法定义下不构成域，只有p是质数时Z_p才构成域。

含有8个元素的域和Z_8的结构不一样的。

2. 结论是对的，很明显有乘法封闭且有结合律，1是单位元，利用Euler定理可以说明每个元素都可逆。你不妨取两个比较小的n写写看就知道了。

我来给你解答。

第一个问题，GF（8）是怎么构造的。

域有两类，有限域和无限域，这既是根据域中元素的个数来划分的，也是根据域的特征来划分的。如果一个域的特征是0，那么这个域是无限域，比如Q，C。如果域的特征是p，那么这个域就是有限域，并且域中元素的个数一定是p^n个，这里p是素数。

对于有限域GF（q）的构造，如果q是素数，那么模q的剩余类环就是需要构造的域。否则，如果q是素数方幂，那么GF(q)同构于GF(p)[x]/f(x),f(x)是GF（p）上的不可约n次多项式。

说这个可能你不太明白，用你的例子来说更具体。

GF(8)=GF(2^3),为了构造这个域，需要找一个在GF（2）上不可约的三次多项式，比如f(x)=x^3+x+1(所谓在GF（2）上不可约，就是0，1都不是这个多项式的根)，那么GF(2)[x]/f(x)就是GF(8).把它的元素都写出来

GF(2)[x]/f(x)={a+bx+cx^2, a,b,c in GF(2)}

写出来有8个元素{0,1,x,x+1,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}.

他们的运算都按照模掉f（x）来加，乘。

第二个问题

本原元的个数，GF(8)的乘法群是8-1=7阶循环群，那么本原元的个数就是phi(7)=6,这里phi是欧拉函数。

希望你能看明白，如果有问题可以再讨论。

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