近世代数理论基础32：有限域

由有限个元组成的域称为有限域,又称为伽罗瓦域

整数模p的剩余类环 是一个有p个元的有限域

显然,任一有限域F包含的素域一定是 ,而不可能是

F是 的一个有限扩张,因而 ,F可看作 上的一个n维向量空间

设 是F在 上的一组基,则F中每个元可唯一表成

F中恰有 个元

定理：任一有限域的元个数为素数方幂,即任一有限域的特征一定是素数,若特征是p,则这个有限域是 的有限扩张,若扩张次数为n,则这个有限域的元个数为

注： 或 表示含有q个元的有限域,其中q一定是素数的方幂

例：

1. 是 中的2次不可约多项式,故 是一个含有4个元的域

以 表示 的一个根,则 中四个元为

上的加法运算表为

上的乘法运算表为

2.设 , 在 上没有根,故 是 上的不可约多项式

是一个含有9个元的域

以 表示 的一个根,则 中9个元为

由多项式环 中模 的剩余类环 的运算法则,可得 的加法运算表和乘法运算表

如

设 是有q个元的有限域,其中 是一个素数方幂

的全体非零元组成一个阶为 的乘法群,故 的任一非零元是 的根

即 的q个元都是 的根

,故 没有重根

即 在 上的分裂域

一定存在,且在同构意义下唯一

定理： ,含有 个元的域一定存在,且在同构意义下唯一

注：有限域 的非零元组成的 阶乘法群 一定是一个循环群

例：

1. 是 中的2次不可约多项式,以 表示 的一个根

是循环群, 是它的生成元

2. 是 上的不可约多项式,以 表示 的一个根

是由 生成的8阶循环群

除 外, 也都是 的生成元

共有 个生成元( 为欧拉函数)

定理：任一有限域的非零元组成的乘法群是循环群

证明：

循环群 的生成元称为 的本原元

定义：设 , 的本原元在 上的极小多项式称为 上的(n次)本原多项式

定理：设 ,有限域 是其素域 的单扩张

证明：

这要在一个F3的2维线性空间上构造一个乘法即可（其实是C2和F3构成的群代数就行了）

设V是一个F3的2维线性空间

设V的基底为m,n

V上的加法定义（a,b,c,d是F3的元素）为(am+bn)+(cm+dn)=(a+c)m+(b+d)n

乘法定义为(am+bn)(cm+dn)=(ac+bd)m+(ad+bc)n

验证一下即可

域的特征是：交换代数中的基本概念

一个域就是满足加、减、乘、除 四则运算的集合。 比如有理数域， 有理函数域， 代数数域、伽罗华域等等。基本简介：域的特征是交换代数中的基本概念。 一个域就是满足加、减、乘、除 四则运算的集合。 比如有理数域， 有理函数域， 代数数域、伽罗华域等等。

任何域必定包含元素0和1. 和我们所熟悉的有理数域不同， 有些域中，若干个1相加有可能等于零。 假设p是最小的正整数， 使得p个1相加等于0， 那么p就称为域的特征。 特别的， 如果任何多个1相加都不会是0， 那么特征p就定义为0.

可以证明， 如果域的特征p>0, 则p一定是素数。特征大于零的域有很多， 比如模p的剩余类域(也就是p的剩余系):{0，1，2，...,p-1}。特征为p(>0)的域F中元素满足Frobenius条件:(x+y)^p=x^p+y^p, x,y∈F

域(拼音:yù)是汉语通用规范一级汉字(常用字) 。域的古文写作"或(yù)"，左像一区域，右为用于守卫的"戈"。大约到篆文加"土"旁分化出"域"。"域"是"或"的分化字，本义指一定疆界内的地方，引申指封邑、封国。

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